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.(本题满分12分)

给定椭圆>0,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为

(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程;

(2)若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆的“伴随圆”相交于M、N两点,求弦MN的长;

(3)点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点,过点作直线,使得与椭圆都只有一个公共点,求证:

 

【答案】

 

(1)因为,所以

所以椭圆的方程为,伴随圆方程……………2分

(2)设直线的方程,由 

   得  

圆心到直线的距离为所以………………………………………6分

(3)①当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,

因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为

 当方程为时,此时与伴随圆交于点

此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是

(或,即(或,显然直线垂直;

同理可证方程为时,直线垂直……………………7分

②当都有斜率时,设点其中

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为

,消去得到

,……………8分

经过化简得到:

因为,所以有,…………………………10分

的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,

所以满足方程

因而,即垂直.………………………………………………12分

 

【解析】略

 

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