Question

设函数f（x）=x²+ax+b，点（a，b）为函数y=

5-2x

x-2

的对称中心，设数列{a_n}，{b_n}满足4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2（n∈N^*），a₁=6，且b_n=

1

an+4

，{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求a，b的值；
（2）求证：S_n＜

1

6

；
（3）求证：a_n+2≥2 2n-4+2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由y=

5-2x

x-2

，得y+2=

1

x-2

，由此能求出a，b的值．
（2）由4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2=an2+4an =a_n（a_n+4），得bn=

1

an+4

=

1

an

-

1

an+1

，由此能证明Sn＜

1

a1

=

1

6

．
（3）由4an+1=an2+4an，（a_n+2）²=4a_n+1+4＜4（a_n+1+2），两边取2为底的对数，得2log₂（a_n+2）＜2+log 2 （a_n+1+2），由此能证明an+2＞22n-1+2．（n∈N^*）．

解答： （1）解：由y=

5-2x

x-2

，得y+2=

1

x-2

，
故其对称中心为（2，-2），所以a=2，b=-2．   （2分）
（2）证明：由4a_n+1=f（a_n）+2a_n+2=an2+4an =a_n（a_n+4），
则bn=

1

an+4

=

an

4an+1

=

an2

4an+1an

=

4an+1-4an

4an+1an

=

1

an

-

1

an+1

，（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

，（6分）
又4a_n+1=an2+4a_n，则an2=4an+1-4an＞0，
即a_n+1＞a_n（n∈N^*），所以数列{a_n}为递增数列，故a_n+1＞a₁，所以Sn＜

1

a1

=

1

6

．（8分）
（3）证明：由4an+1=an2+4an，
（a_n+2）²=4a_n+1+4＜4（a_n+1+2），两边取2为底的对数，
得2log₂（a_n+2）＜2+log 2 （a_n+1+2），
即2[log₂（a_n+2）-2]＜log₂（a_n+1+2）-2，（10分）
由此递推式得：
log₂（a_n+1+2）-2＞2[log₂（a_n+2）-2]＞2²[log₂（a_n-1+2）-2]＞…＞2ⁿ[log₂（a₁+2）-2]=2ⁿ[log₂8-2）]=2ⁿ，（12分）
所以log2(an+2)-2＞2n-1，
则an+2＞22n-1+2．（n∈N^*）．（ 13分）

点评：本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．