Question

20．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今甲由道路网M处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达N处．
（Ⅰ）求甲由M处到达N处的不同走法种数；
（Ⅱ）求甲经过A₂的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ），甲由道路网M处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，共有$C_6^3$种，问题得以解决．
（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是C₆³，满足条件的事件是甲经过A₂到达N，可分为两步：甲从M经过A₂的方法数C₃¹种；甲从A₂到N的方法数C₃¹种；根据分步计数原理得到结果数，求出概率．

解答 解：（Ⅰ）甲由道路网M处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，共有$C_6^3$种，即共有20种．     
（Ⅱ）甲经过A₂到达N，可分为两步：第一步：甲从M经过A₂的方法数：$C_3^1$种；
第二步：甲从A₂到N的方法数：$C_3^1$种；所以：甲经过A₂的方法数为${（C_3^1）^2}$=9种，
所以：甲经过A₂的概率$P=\frac{{{{（C_3^1）}^2}}}{C_6^3}=\frac{9}{20}$．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查分类计数原理，考查分步计数原理，是一个综合题．