Question

18．若函数f（x）=log_a（a^x-t）（a＞0且a≠1）在区间[$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$]上的值域为[m，n]，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根据函数f（x）的单调性得出log_a（a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t）=x有两解，令a${\;}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0），则关于m的方程t=m-m²有两解，根据二次函数的性质得出t的范围．

解答 解：∵y=a^x-t与y=log_ax的单调性相同，
∴f（x）=log_a（a^x-t）（a＞0且a≠1）在定义域上是增函数，
∵f（x）区间[$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$]上的值域为[m，n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（{a}^{\frac{m}{2}}-t）=m}\\{lo{g}_{a}（{a}^{\frac{n}{2}}-t）=n}\end{array}\right.$，
∴方程log_a（a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t）=x有两解，即方程a^x=a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t有两解，
设a${\;}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0），则t=m-m²，
作出t=m-m²（m＞0）的函数图象如图所示：

∵方程a^x=a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t有两解，∴关于m的方程t=m-m²有两解，
∴0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了对数函数，指数函数和二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题．