【题目】已知椭圆M: + =1(a>0)的一个焦点为F(﹣1,0),左右顶点分别为A,B,经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以c=1, 又b= ,所以a=2,
所以椭圆方程为 =1;
(Ⅱ)直线l无斜率时,直线方程为x=﹣1,
此时D(﹣1, ),C(﹣1,﹣ ),△ABD,△ABC面积相等,|S1﹣S2|=0,
当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),
设C(x1 , y1),D(x2 , y2),
和椭圆方程联立,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
显然△>0,方程有根,且x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|
=2|k(x2+x1)+2k|= = ≤ = ,(k=± 时等号成立)
所以|S1﹣S2|的最大值为
【解析】(Ⅰ)由焦点F坐标可求c值,根据a,b,c的平方关系可求得a值;(Ⅱ)当直线l不存在斜率时可得,|S1﹣S2|=0;当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),与椭圆方程联立消y可得x的方程,根据韦达定理可用k表示x1+x2 , x1x2 , |S1﹣S2|可转化为关于x1 , x2的式子,进而变为关于k的表达式,再用基本不等式即可求得其最大值.
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【题目】某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以, , , , , , 分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求理科综合分数的众数和中位数;
(3)在理科综合分数为, , , 的四组学生中,用分层抽样的方法抽取11名学生,则理科综合分数在的学生中应抽取多少人?
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【题目】设椭圆的离心率为,椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值。
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【题目】已知关于x的不等式:|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2.
(Ⅰ)求整数m的值;
(Ⅱ)已知a,b,c∈R,若4a4+4b4+4c4=m,求a2+b2+c2的最大值.
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【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查,先将800人按001,002,…,800进行编号.
(1)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的3个人的编号;(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
人 数 | 数 学 | |||
优 秀 | 良 好 | 及 格 | ||
地 理 | 优 秀 | 7 | 20 | 5 |
良 好 | 9 | 18 | 6 | |
及 格 | a | 4 | b |
成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有.
①若在该样本中,数学成绩优秀率是,求 的值:
②在地理成绩及格的学生中,已知,,求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.
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【题目】已知F1 , F2是椭圆 的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则 (其中e为椭圆C的离心率)的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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