【题目】设函数(a,bR).
(1)当b=﹣1时,函数有两个极值,求a的取值范围;
(2)当a+b=1时,函数的最小值为2,求a的值;
(3)对任意给定的正实数a,b,证明:存在实数,当时,.
【答案】(1)(,0)(2)或(3)证明见解析;
【解析】
(1)当时,,求导,则,解出即可;
(2)当时,,求导后,分类讨论得函数的单调性与最值,由此可求出答案;
(3)对任意给定的正实数a,b,有,设,设,x>0,求导后易求得,又由,得,由此可得出答案.
解:(1)当时,,
∴,
若函数有两个极值,则,解得,
故a的取值范围是(,0);
(2)当时,,
∴,
当a≤0时,,∴是(0,)上的减函数,
∴函数无最小值,舍去;
当a>0时,由得,,
∴在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,
∴函数的最小值为,
由,得,
解得或;
(3)对任意给定的正实数a,b,有,
设,
设,x>0,则,z
易知当x=4时,,故,
又由,得,
对于任意给定的正实数a,b,取为与4中的较大者,
则当时,恒有,即当时,.
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【题目】已知椭圆的焦距为4.且过点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设,,,过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线相交于点P.证明:(O为坐标原点).
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【题目】已知椭圆以抛物线的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆相交于、两点,与直线相交于点,是椭圆上一点且满足(其中为坐标原点),试问在轴上是否存在一点,使得为定值?若存在,求出点的坐标及的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知椭圆的左、右焦点分别为、,,是轴的正半轴上一点,交椭圆于,且,的内切圆半径为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线和圆相切,且与椭圆交于、两点,求的值.
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【题目】为了提高生产线的运行效率,工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果,采集了生产线的技术改造前后各次连续正常运行的时间长度(单位:天)数据,并绘制了如茎叶图:
(1)①设所采集的个连续正常运行时间的中位数,并将连续正常运行时间超过和不超过的次数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
改造前 | ||
改造后 |
②根据①中的列联表,能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异?
附:.
(2)工厂的生产线的运行需要进行维护,工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为天(即从开工运行到第天进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期,每个维护周期相互独立.在一个维护周期内,若生产线能连续运行,则不会产生保障维护费;若生产线不能连续运行,则产生保障维护费.经测算,正常维护费为万元/次;保障维护费第一次为万元/周期,此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产线一个生产周期(以天计)内的维护方案:,、、、.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率,求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
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【题目】根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.4,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲乙两种保险都不购买的概率.
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