Question

【题目】已知函数f(x)=(x-3)ex+ax,aR

(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)当a[0,e)时,设函数f(x)在(1,+)上的最小值为g(a),求函数g(a)的值域．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算 ，求出切线方程即可；（2）设 ，得到 在 上有唯一零点， 根据函数的单调性求出 ，从而求出的值域即可.

试题解析: 由题意得,

(Ⅰ)当时, ,所以,

又因为,

则所求的切线方程为,即．

（Ⅱ）设,则对于成立,

所以在上是增函数,又因为,则, ,

所以在上有唯一零点（）．

则函数在上单调递减,在上单调递增,

因此当时,函数在上的最小值为．

因为,则,当时,有．

所以函数有最小值,

令（）,

则在上恒成立,所以在上单调递减,

因为, ,所以的值域为,

所以的值域为．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.