Question

如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域．
（1）若向该正方形内随机投一点，求该点落在阴影区域的概率？
（2）给正方形ABCD的四个顶点都作上一个标记，现有四种标记可供选择，记“任一线段上（四边）的两个顶点标记都不同”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积得到．
（2）先根据乘法原理计算出基本事件的总数，再对事件A进行分类讨论：包含：用两种标记，用三种标记，用四种标记，得出事件A包含的基本事件数，最后利用等可能事件的概率计算公式求解．
解答：解：（1）由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，
∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，
空白区域的面积是2（4-π）=8-2π，
∴阴影区域的面积为4-（8-2π）=2π-4
∴由几何概型公式得到P==，
（2）基本事件的总数4 ⁴
事件A包含：用两种标记，则ACBD颜色相同，A₄²种；
用三种标记，则AC或BD颜色相同有2A₄³种；
用四种标记有A₄⁴种
所以事件A包含的基本事件数为84种
所以P（A）=
点评：本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．