Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁＝a₁＋2，且b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列．
（Ⅰ）求a的值及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{loga_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n．

Answer 1

（Ⅰ）a＝1，b_n＝8n－5；（Ⅱ）9.

试题分析：（Ⅰ）依据S_n＝2ⁿ－a，根据数列的前n项和，求出数列{a_n}的通项公式，并且根据初始条件求出a＝1，a_n＝2^n－1，再根据b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列，得出(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，解得d＝0（舍去），或d＝8，从而求出{b_n}的通项公式为b_n＝8n－5；（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n＝2^n－1代入loga_n＝2(n－1)，易知该数列是等差数列，根据等差数列的前n项和，求出T_n＝＝n(n－1)，而b_n＝8n－5，根据T_n＞b_n，n(n－1)＞8n－5，解得n≥9，故所求n的最小正整数为9.
试题解析：
（Ⅰ）当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a；
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．
∵{a_n}为等比数列，
∴2－a＝1，解得a＝1．
∴a_n＝2^n－1．
设数列{b_n}的公差为d，
∵b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列，
∴(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，
又b₁＝3，
∴(8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，
解得d＝0（舍去），或d＝8．
∴b_n＝8n－5．
（Ⅱ）由a_n＝2^n－1，得loga_n＝2(n－1)，
∴{loga_n}是以0为首项，2为公差的等差数列，
∴T_n＝＝n(n－1)．
由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得
n(n－1)＞8n－5，即n²－9n＋5＞0，
∵n∈N^*，∴n≥9．
故所求n的最小正整数为9．