(本题满分15分)
已知点,是抛物线上相异两点,且满足.
(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;
(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ),直线方程为。
【解析】
试题分析:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意,
所以可设直线的方程为,代入方程得:
∴ ………………………………2分
得:
∴直线的方程为
∵中点的横坐标为1,∴中点的坐标为 …………………………4分
∴的中垂线方程为
∵的中垂线经过点,故,得 ………………………6分
∴直线的方程为 ………………………7分
(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为,∴点的坐标为……8分
因为直线的方程为
∴到直线的距离…………………10分
由 得,,
…………………………12分
∴, 设,则,
,,由,得
在上递增,在上递减,当时,有最大值
得:时,
直线方程为 ……………15分
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)
法二:
(Ⅰ)当垂直于轴时,显然不符合题意,
当不垂直于轴时,根据题意设的中点为,
则 …………2分
由、两点得中垂线的斜率为, ………………4分
由,得 ………………6分
∴直线的方程为 ……………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的方程为 ………………8分
中垂线方程为,中垂线交轴于点
点到直线的距离为 ………………10分
由得:
当时,有最大值,此时直线方程为 ………15分;
考点:抛物线的简单性质;直线与抛物线的综合应用;中点坐标公式;直线垂直的条件。
点评:(1)本题主要考查直线与抛物线的综合应用等基础知识,考查了学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,以及分类讨论、化归与转化思想.(2)做此题的关键是表示出的面积。本题在计算过程中较为复杂繁琐,我们在计算的过程中一定要耐住性子,认真、细致,避免出现计算错误。
科目:高中数学 来源:2010-2011年江苏省如皋市五校高二下学期期中考试理科数学 题型:解答题
((本题满分15分)
某有奖销售将商品的售价提高120元后允许顾客有3次抽奖的机会,每次抽奖的方法是在已经设置并打开了程序的电脑上按“Enter”键,电脑将随机产生一个 1~6的整数数作为号码,若该号码是3的倍数则顾客获奖,每次中奖的奖金为100元,运用所学的知识说明这样的活动对商家是否有利。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省招生适应性考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分15分)设函数.
(Ⅰ)若函数在上单调递增,在上单调递减,求实数的最大值;
(Ⅱ)若对任意的,都成立,求实数的取值范围.
注:为自然对数的底数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期初摸底文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线与曲线相切
1)求b的值;
2)若方程在上恰有两个不等的实数根,求
①m的取值范围;
②比较的大小
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期中考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知抛物线:(),焦点为,直线交抛物线于、两点,是线段的中点,
过作轴的垂线交抛物线于点,
(1)若抛物线上有一点到焦点的距离为,求此时的值;
(2)是否存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省六校高三第一次联考文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设,若在上不单调且仅在处取得最大值,求的取值范围.
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