Question

【题目】已知双曲线 C 经过点 (2,3)，它的渐近线方程为 y = ±．椭圆 C1与双曲线 C有相同的焦点，椭圆 C1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等．

（1）求双曲线 C 和椭圆 C1 的方程；

（2）经过椭圆 C1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A、B 两点，是否存在定点 D ，使得无论 AB 怎样运动，都有∠ADF = ∠BDF ？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在点D

【解析】

（1）双曲线的方程为：，则．设椭圆的方程；椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等，椭圆与双曲线有相同的焦点即可得、、

（2）直线垂直轴时，、两点关于轴对称，要使，则点必在轴上，设，直线不垂直轴时，的方程设为：，设，，，，联立得．要使，即直线、的斜率互为相反数，即，求得

解：（1）双曲线方程为：，则．

双曲线的方程为．

设椭圆的方程；

椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等，

椭圆的短轴长为，椭圆与双曲线有相同的焦点，

即，，椭圆的方程为：；

（2）直线垂直轴时，、两点关于轴对称，

，要使，则点必在轴上，

设，直线不垂直轴时，的方程设为：，

设，，，，联立得．

．

，直线、的斜率互为相反数，

即，

时恒成立．

时，；

存在定点，，使得无论怎样运动，都有．