Question

数列{a_n}是递减的等差数列，{a_n}的前n项和是s_n，且s₆=s₉，有以下四个结论：
（1）a₈=0；（2）当n等于7或8时，s_n取最大值；（3）存在正整数k，使s_k=0；（4）存在正整数m，使s_m=s_2m．
写出以上所有正确结论的序号，答：________．

Answer 1

解：∵s₆=s₉∴a₇+a₈+a₉=0，由等差数列性质，3a₈=0，a₈=0，①对．
∵数列{a_n}是递减的等差数列，由已知，a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，∴当n等于7或8时，s_n取最大值 ②对
∵a₈=0，则S ₁₅=（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，∴存在正整数k=15，使s_k=0；③对
由等差数列性质，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，S₁₀=S₅ ∴存在正整数m=5，使s_m=s_2m．④对
故答案为：①②③④
分析：由已知，得出a₈=0，利用等差数列性质，前n项和公式，及灵活代换逐项判断，得出正确序号即可．
点评：本题考查等差数列性质，前n项和公式，考查知识的灵活应用，等量代换，整体意识．利用a₈=0这一特殊项盘活了整个等量代换过程．