Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(log₂x)=x+(a为常数).

(1)求f(x)的解析式;

(2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单调性.

Answer 1

解析：(1)设log₂x=t,则x=2^t,

∴f(t)=2^t+,

∴f(x)=2^x+(x∈R).

(2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),

即,

即,

∴(2^x-2^-x)(a-1)=0对x∈R恒成立，∴a=1.∴f(x)=2^x+(x∈R).

设x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=

∵x₁＜x₂,∴＞0.

①若x₁,x₂∈(-∞,0］,则x₁+x₂＜0,

∴＜1.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,f(x₁)＞f(x₂).

故函数f(x)在（-∞，0］上是减函数.

②当x₁、x₂∈(0,+∞),则x₁+x₂＞0,

∴＞1.

∴f(x₁)-f(x₂)＜0即f(x₁)＜f(x₂).

故函数f(x)在（0,+∞）上是增函数.

或由f(x)是偶函数且在（-∞，0］上是减函数,由对称性可知f(x)在(0,+∞)上是增函数.