Question

请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒，G、H分别在AB、AF上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AG=AH=x（cm）．（1）若要求纸盒的侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若要求纸盒的容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比．

Answer 1

分析：（1）由AG=AH=x，得到正六棱柱的底面正六边形的边长为（30-2x），因为正六边形的一个内角为120°，由此可解得正六棱柱的高为

3

x，然后直接利用正六棱柱的侧面积公式写出侧面积，运用二次函数求最值；
（2）求出边长为（30-2x）的正六边形的面积，则纸盒的容积V可求，求导后利用导数求最大值，并求出当容积最大时的x的值，从而得到纸盒的高与底面边长的比．

解答：解：（1）由平面图形知，正六棱柱的底面正六边形的边长为（30-2x），
根据平面图形中的小阴影四边形的最大角为∠HAG=120°，可得正六棱柱的高为

3

x，
所以纸盒的侧面积S=6•(30-2x)•

3

x=12

3

x(15-x)，x∈（0，15），
因为该二次函数开口向下，且对称轴方程为x=

15

2

，
所以当x=

15

2

cm时，侧面积S最大，最大侧面积为

225 3

2

（cm²）． 
（2）因纸盒的底面是边长为（30-2x）的正六边形，
所以底面积为S=

1

2

×(30-2x)×

3

2

×(30-2x)=

3

4

(30-2x)2．
所以纸盒的容积V=6×

3

4

(30-2x)2•

3

x=

9

2

(4x3-120x2+900x)，x∈（0，15），
由V′(x)=

9

2

(12x2-240x2+900)=0，得x=5，或x=15（舍去），
列表：

x	（0，5）	5	（5，15）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↗	极大值9 000	↘

所以当x=5cm时，容积V最大，此时纸盒的高与底面边长的比为

5 3

30-2×5

=

3

4

．

点评：本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了正六边形的面积的求法，解答此题的关键是用x表示纸盒的高，同时需要注意的是实际问题要注明有实际意义的定义域，此题是中档题．