Question

过椭圆的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

Answer 1

解：（1）由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
x₀==-，y₀=k（x₀+1）=，
由点M在直线x+2y=0上，知-2k²+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）将k=1代入①式，得3x²+4x=0，
不妨设x₁＞x₂，则x₁=0，x₂=-，…（8分）
记α=∠ACF，β=∠BCF，则
tanα===，tanβ=-=-=，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α==．…（12分）
分析：（1）由椭圆方程，a，b，c．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而解决问题．
（2）将k=1代入（1）中得到关于x的一元二次方程，求出方程的两个根，再根据夹角公式求出tan∠ACB．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想．属于基础题．