Question

给出如下两个命题：
命题p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2
命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．
求实数a的取值范围，使命题p，q中至少有一个为真命题．

Answer 1

分析：依题意，可求得命题p：-5＜a＜7；命题q为：a＞-4；依题意，命题p，q中至少有一个为真命题?①若p真q假或②若p假q真或③若p真q真，分别解之，最后取其并集即可．

解答：解：命题p中|f（a）|＜2，即|

1-a

3

|＜2，化简得，-5＜a＜7；        …（2分）
命题q中A∩B=φ，即方程x²+（a+2）x+1=0没有正实根，
则△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；或

△≥0 -(a+2)＜0

，解得a≥0，
∴命题q可化简为a＞-4．…（5分）
①若p真q假，则-5＜a≤-4，即a∈（-5，-4]；                  …（7分）
②若p假q真，则a≥7，即a∈[7，+∞]；                          …（9分）
③若p真q真，则-4＜a＜7，即a∈（-4，7）．…（11分）（-5，-4]∪[7，+∞]∪（-4，7）=（-5，+∞）．…（13分）
综上可知，当a∈（-5，+∞）时，命题p，q中至少有一个为真命题．…（14分）

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，求得命题p：-5＜a＜7与命题q：a＞-4是关键，也是难点，属于难题．