Question

3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、B₁C的中点．
（1）用向量法证明平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（2）用向量法证明MN⊥面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面A₁BD、平面B₁CD₁的法向量，证明法向量平行，即可证明结论；
（2）求出$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，1），可得$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{m}$，即可证明结论．

解答 证明：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A₁（2，0，2），B（2，2，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1），
同理平面B₁CD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（2）∵M、N分别为AB、B₁C的中点，
∴$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{m}$，
∴MN⊥面A₁BD．

点评 本题考查平面与平面平行的证明，考查直线与平面垂直，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．