Question

（2011•盐城模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B₁B，由等边三角形三线合一，可得AD⊥BD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，可依次证得AD⊥平面B₁BCC₁及平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE，由三角形中位线定理可得DE∥A₁C，进而根据线面平行的判定定理可得A₁C∥平面AB₁D．

解答：证明：（1）因为B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B₁B    （2分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD    （2分）
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁   （4分）
又AD?平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁    （6分）
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE    （7分）
因为点E为矩形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点   （8分）
又D为BC的中点，所以DE为△A₁BC的中位线，
所以DE∥A₁C    （10分）
又DE?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D    （12分）

点评：本题以正三棱柱为载体考查了平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握正三棱柱的几何特征，是解答的核心．