Question

有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=20

7

，BC=40

3

．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且∠ABO≈

2

7

π．
（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出点P到A，B，C的距离之和为y，利用导数，求出函数的最小值；
方法二：设点P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距离之和为f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，再利用导数求出函数的最小值．
（Ⅱ）设点P（0，b）（0≤b≤40），则|PA|=40-b，点P到A，B，C三点的最远距离为g（b）求出
g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

，当0≤b≤5时，g（b）=40-b在[0，5]上是减函数，当5＜b≤40时，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函数，推出g（b）＞g（5）=35，得到当b=5时，g（b）_min=35，这时点P在OA上距O点5km．

解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，则|OA|=

(20 7 )2-(20 3 )2

=40（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（0≤α≤

2

7

π），
点P到A，B，C的距离之和为y=2×

20 3

cosα

+40-20

3

tanα=40+20

3

×

2-sinα

cosα

（5分）y′=20

3

×

2sinα-1

cos2α

，令y′=0即sinα=

1

2

，
又0≤α≤

2

7

π，从而α=

π

6

当0≤α＜

π

6

时，y′＜0；当

π

6

＜α≤

2π

7

时，y'＞0．
∴当α=

π

6

时，y=40+20

3

×

2-sinα

cosα

取得最小值
此时OP=20

3

tan

π

6

=20

3

×

3

3

=20，
即点P为OA的中点．（8分）
方法二：设点P（0，b）（0≤b≤40），
则P到A，B，C的距离之和为f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，
求导得f′(b)=

2b

b2+1200

-1（5分）
由f'（b）=0即2b=

b2+1200

，解得b=20
当0≤b＜20时，f′（b）＜0；当20＜b≤40时，f'（b）＞0
∴当b=20时，f（b）取得最小值，此时点P为OA的中点．（8分）
（Ⅱ）设点P（0，b）（0≤b≤40），则|PA|=40-b，|PB|=|PC|=

b2+1200

点P到A，B，C三点的最远距离为g（b）
①若|PA|≥|PB|即40-b≥

b2+1200

?0≤b≤5，则g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即40-b＜

b2+1200

?5＜b≤40，则g(b)=

b2+1200

；
∴g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

（11分）
当0≤b≤5时，g（b）=40-b在[0，5]上是减函数，∴g（b）_min=g（5）=35
当5＜b≤40时，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函数，∴g（b）＞g（5）=35
∴当b=5时，g（b）_min=35，这时点P在OA上距O点5km．（14分）

点评：本题考查两点间距离公式的应用，利用导数求闭区间上函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．