Question

已知P是圆F₁：（x+1）²+y²=8上任意一点，又F₂（1，0），直线m分别与线段F₁P，F₂P交于M，N两点，且

MN

=

1

2

（

MF2

+

MP

），|

NM

+

F2P

|=|

NM

-

F2P

|．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线x=my+2与椭圆交于A、B两点，点D在椭圆上，且

OA

+

OB

=λ

OD

，E（-

2

m

，

m-2

m

），设△EAB的面积为S，若0＜S≤1，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

MN

=

1

2

（

MF2

+

MP

），|

NM

+

F2P

|=|

NM

-

F2P

|．可得MN是线段F₂P垂直平分线，再利用椭圆的定义即可得出．
（2）将直线的方程为x=my+2代入椭圆方程可得（2+m²）x²-8x+8-2m²=0，由△＞0即m²＞2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得|AB|=

(1+ 1 m2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 2 (1+m2)(m2-2)

2+m2

．利用点到直线的距离公式可得：E到直线AB的距离为d，则d=

2+m2

|m| 1+m2

．可得S=

1

2

|AB|d=

2 m2-2

|m|

．由题意：0＜S≤1 解得：2＜m²≤4．设D（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=λ

OD

，可得x₀=

1

λ

（x₁+x₂），y₀=

1

λ

（y₁+y₂），利用P、A、B三点均在椭圆上，可得2+x₁x₂+2y₁y₂=λ²，
可得λ²=

16

2+m2

，即可得出．

解答： 解：（1）∵|

MN

|=

1

2

（

MF2

+

MP

），
∴N是F₂P中点，
又∵|

NM

+

F2P

|=|

NM

-

F2P

|．
∴

NM

?

F2P

=0 
∴MN是线段F₂P垂直平分线，
∴|MF₁|+|MF₂|=|F₁P|=2

2

＞|F₁F₂|．
∴M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，2a=2

2

，c=1，
∴M的轨迹C的方程

x2

2

+y²=1．
（2）将直线的方程为x=my+2代入

x2

2

+y²=1得
（2+m²）x²-8x+8-2m²=0
∴△=64-8（2+m²）（4-m²）=8m²（m²-2）＞0即m²＞2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8

2+m2

，x₁x₂=

8-2m2

2+m2

，
|AB|=

(1+ 1 m2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+ 1 m2 )[( 8 2+m2 )2- 4(8-2m2) 2+m2 ]

=

2 2 (1+m2)(m2-2)

2+m2

．
设E到直线AB的距离为d，则d=

|- 2 m -m• m-2 m -2|

1+m2

=

2+m2

|m| 1+m2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

×

2 2 (1+m2)(m2-2)

2+m2

×

2+m2

|m| 1+m2

=

2 m2-2

|m|

．
由题意：0＜

2 m2-2

|m|

≤1 解得：2＜m²≤4．
设D（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=λ

OD

，
∴x₀=

1

λ

（x₁+x₂），y₀=

1

λ

（y₁+y₂）
∵P、A、B三点均在椭圆上，
∴

x 2 0

2

+y₀²=1，

x 2 1

2

+y₁²=1，

x 2 2

2

+y₂²=1，
∴

1

λ2

•

(x1+x2)2

2

+

1

λ2

•（y₁+y₂）²=1，
化为

(x1+x2)2

2

+（y₁+y₂）²=λ² ，
∴

x 2 1 + x 2 2

2

+x₁x₂+y₁²+y₂²+2y₁y₂=λ²，
∴2+x₁x₂+2y₁y₂=λ²，
y₁y₂=

1

m2

（x₁-2）（x₂-2）=

1

m2

[（x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=

2

2+m2

，
2+

8-2m2

2+m2

+2×

2

2+m2

=λ²，即λ²=

16

2+m2

，
∴

8

3

≤λ²＜4
∴λ的取值范围是（-2，-

2 6

3

]∪[

2 6

3

，2）．

点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆直角转弯方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量的平行四边形法则与数量积运算、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．