Question

14．求过A（0，0）、B（1，1）、C（4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

Answer 1

分析 根据垂径定理可知圆心在圆中弦的垂直平分线上，所以利用中点坐标公式分别找出弦OM₁和OM₂的中点坐标和各自的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分线的斜率，即可写出两垂直平分线的方程，然后联立两直线方程求出两垂直平分线的交点坐标即为圆心的坐标，再然后利用两点间的距离公式求出圆心到O点的距离即为圆的半径．

解答 解：AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），直线AB的斜率为1，所以垂直平分线的斜率为-1
则线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$）化简得x+y-1=0①；
同理得到AC的中点坐标为（2，1），直线AC的斜率为$\frac{1}{2}$，所以垂直平分线的斜率为-2
则线段AC的垂直平分线方程为y-1=-2（x-2）化简得2x+y-5=0②．
联立①②解得x=4，y=-3，则圆心坐标为（4，-3），圆的半径r=5
则圆的标准方程为：（x-4）²+（y+3）²=25.1

点评 此题考查学生会利用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．