Question

已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）当PQ=2

3

时，求直线l的方程；
（3）探索

AM

•

AN

是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据l与m垂直，则两条直线的斜率之积为-1，进而根据直线过点A（-1，0），我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论；
（2）根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ=2

3

，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k的方程，解方程即可得到k值，进而得到直线l的方程；
（3）根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N的坐标（含参数k），然后根据向量数量积公式，即可求出

AM

•

AN

的值，进而得到结论．

解答：解：（1）∵l与m垂直，且km=-

1

3

，∴k₁=3，
故直线l方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0．∵圆心坐标（0，3）满足直线l方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C．
（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵PQ=2

3

，∴CM=

4-3

=1，则由CM=

|-k+3|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
∴直线l：4x-3y+4=0．
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．
（3）∵CM⊥MN，∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

．
①当l与x轴垂直时，易得N(-1，-

5

3

)，则

AN

=(0，-

5

3

)，又

AC

=(1，3)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5．
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由

y=k(x+1) x+3y+6=0

得N(

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

)，则

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)．
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
综上所述，a=18与直线l的斜率无关，且

AM

•

AN

=-5．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键．