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    某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
    （1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
    （2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

    【答案】分析：（1）分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时，△EMN的面积，可得分段函数；
    （2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．
    解答：解：（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，
    即0＜x≤2时，△EMN的面积S==x；（2分）
    ②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
    ∵E为AB中点，
    ∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
    又∵MN∥CD，
    ∴△MNG∽△DCG．
    ∴，即．（5分）
    故△EMN的面积S==； （7分）
    综合可得：（8分）
    说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．
    （2）①当MN在正方形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
    ②当MN在三角形区域滑动时，S=．
    因而，当（米），S在上递减，无最大值，0＜S＜2．
    所以当x=2时，S有最大值，最大值为2平方米．（14分）
    点评：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定分段函数是关键．
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    （1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
    （2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
    （3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

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    （1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
    （2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

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    （1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
    （2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2009年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．
    （1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
    （2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
    （3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

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