Question

给出下列五个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
③“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
⑤满足条件AC=

3

，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．
其中正确命题的是

 

．

Answer 1

分析：①利用根的存在性定理进行判断．②利用函数极值和导数之间的关系进行判断．③利用函数的奇偶性性的定义和充分条件和必要条件进行判断．④利用函数的对称性进行判断．④利用正弦定理或余弦定理进行判断．

解答：解：①f（x）=lnx-2+x在区间[1，e]上单调递增，且f（1）=1-2=-1＜0．f（e）=lne-2+e=e-2+1=e-1＞0，所以根据根的存在性定理可知在（1，e）上函数存在零点，所以①正确．
②函数f（x）=x³的导数为f'（x）=3x²，因为f'（0）=0，但函数f（x）=x³单调递增，没有极值，所以②错误．
③若函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数，则f（-x）=-f（x），即

a-e-x

1+ae-x

=-

a-ex

1+aex

，整理得

aex-1

ex+a

=

ex-a

1+aex

，即(1+aex)(aex-1)=(ex-a)(ex+a)，
即a²e^2x-1=e^2x-a²，所以a²=1，解得a=1或a=-1，所以③“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．所以③正确．
④设A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一点，则满足b=f（1+a），则点A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），在函数y=f（1-x）上，
当x=-a时，y=f[1-（-a）]=f（1+a）=b，即（-a，b）在函数y=f（1-x）上，所以函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称，所以④正确．
⑤由正弦定理得

AC

sinB

=

AB

sinC

，即

3

3 2

=

1

sinC

，解得sinC=

1

2

，因为AC＞AB，所以B＞C，即C＜60⁰，所以满足条件的三角形只有一个，所以⑤错误．
故正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较多．