Question

5．如图，在多面体PABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，BD=DC=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{5}$，PA⊥平面ABC．
（1）求证：PA∥平面BCD；
（2）求三棱锥D-BCP的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E、AB的中点F，连结AE、ED、CF，通过已知条件及勾股定理可得AE⊥DE，利用PA⊥平面ABC即得结论
（2）利用几何体的体积相等，通过转化求解即可．

解答 证明：（1）取BC的中点E，连结AE、ED，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴AB=BC=2，
∵BD=DC=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{{BD}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{{AB}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DE²+AE²=2+3=AD²，
∴AE⊥DE，
又DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DE，
∴PA∥平面BCD；
解：（2）∵PA∥平面BCD，
∴P到面BCD的距离等于A点到面BCD的距离．
∴V_D-BCP=V_P-BCD=V_A-BCD，
∵DE⊥平面ABC，∴V_A-BCD=V_D-BCA=$\frac{1}{3}$S_△ABC•DE，
∵${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}=\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴V_D-BCP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的判定定理，几何体的体积的求法，转化思想的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．