Question

20．已知动点E在抛物线y²=16x上，过点E作EF垂直于x轴，垂足为F，设$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）已知点B（1，-2），过点（3，2）的直线L交曲线C于P、Q两点，求证：直线BP与直线BQ的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$则E（x，2y），代入抛物线y²=16x，即可得到轨迹方程．
（2）设过点（3，2）的直线为L：m（y-2）=x-3，直线L交于P、Q两点设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线L与曲线C，利用判别式以及韦达定理，求解k_BP•k_BQ．

解答 解：（1）设点M（x，y），$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$则E（x，2y），
而动点E在抛物线y²=16x，
代入得C的方程为：y²=4x．…（4分）
（2）设过点（3，2）的直线为L：m（y-2）=x-3
直线L交于P、Q两点设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线L与曲线C
联立方程有：y²-4my+8m-12=0，
显然△＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=8m-12．…（6分）
∵${k_{BP}}•{k_{BQ}}=\frac{{{y_1}+2}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{y_2}+2}}{{{x_2}-1}}=\frac{4}{{{y_1}-2}}•\frac{4}{{{y_2}-2}}=\frac{16}{{{y_1}{y_2}-2（{{y_1}+{y_2}}）+4}}$，…（10分）
即代入得k_BP•k_BQ=-2…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．