Question

设a是实数，f（x）=a-

1

2x+1

(x∈R)
（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）定义证明函数的单调性，（2）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0，（3）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．

解答：解：（1）设x₁，x₂是R内任意两实数，且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f(0)=a-

1

2

=0，
所以a=

1

2

．
（3）由（2）知，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因为x∈R，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1
所以-1＜-

1

2x+1

＜0，-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

2

，
所以f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．

点评：本题考察函数奇偶性和单调性的综合，此题单调性用定义比用导数容易一些，（3）中的值域主要利用反比例函数模型结合不等式的性质求解．