【题目】已知双曲线:
的焦距为
,直线
(
)与
交于两个不同的点
、
,且
时直线
与
的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围;
(3)设、
分别是
的左、右两顶点,线段
的垂直平分线交直线
于点
,交直线
于点
,求证:线段
在
轴上的射影长为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)求得双曲线的,由等边三角形的性质可得
,
的方程,结合
,
,
的关系求得
,
,进而得到双曲线的方程;
(2)设,
,
,
,联立直线
和
,应用韦达定理和弦长公式,设
的中点为
,求得
的坐标,由题意可得
,应用两点的距离公式,解不等式可得所求范围;
(3)求得,
的坐标和
的坐标,求得
的垂直平分线方程和
的方程,联立解得
的坐标,求出
,即可得证.
解:(1)当直线
与
的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,
,又焦距为
,则
,
解得,
,则所求双曲线
的方程为
.
(2)设,
,由
,得
,
则,
,且
,
又坐标原点在以线段
为直径的圆内,则
,即
,
即,即
,
则, 即
,则
或
,
即实数的取值范围
.
(3)线段在
轴上的射影长是
. 设
,由(1)得点
,
又点是线段
的中点,则点
,
直线的斜率为
,直线
的斜率为
,又
,
则直线的方程为
,即
,
又直线的方程为
,联立方程
,
消去化简整理,得
,又
,
代入消去,得
,
即,则
,
即点的横坐标为
,
则. 故线段
在
轴上的射影长为定值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=
PAB=90°,BC=CD=
AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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【题目】在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
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【题目】某地实行垃圾分类后,政府决定为三个小区建造一座垃圾处理站M,集中处理三个小区的湿垃圾.已知
在
的正西方向,
在
的北偏东
方向,
在
的北偏西
方向,且在
的北偏西
方向,小区
与
相距
与
相距
.
(1)求垃圾处理站与小区
之间的距离;
(2)假设有大、小两种运输车,车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶,一辆大车的行车费用为每公里元,一辆小车的行车费用为每公里
元(其中
为满足
是
内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案:
方案1:只用一辆大车运输,从出发,依次经
再由
返回到
;
方案2:先用两辆小车分别从运送到
,然后并各自返回到
,一辆大车从
直接到
再返回到
.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位
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【题目】已知抛物线C:(
)的焦点F到准线l的距离为2,直线
过点F且与抛物线交于M、N两点,直线
过坐标原点O及点M且与l交于点P,点Q在线段
上.
(1)求直线的斜率;
(2)若,
,
成等差数列,求点Q的轨迹方程.
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【题目】如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
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【题目】在中,
,
分别为
,
的中点,
,如图1.以
为折痕将
折起,使点
到达点
的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
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【题目】已知动点P到点的距离与它到直线l:
的距离d的比值为
,设动点P形成的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线C交于A,B两点,设
,
,过A点作
,垂足为
,过B点作
,垂足为
,求
的取值范围.
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