Question

如图，P是抛物线C：y=

1

2

x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q．
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．

Answer 1

分析：（1）由于直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，要求求直线l的方程，我们可以根据点P的横坐标为2，求出点P的坐标，并求出P点处函数的导数值，即过P点切线的斜率，进而得到直线l的斜率，代入点斜式方程进行求解．
（2）方法一，求线段PQ中点M的轨迹方程，我们可以分别求出直线与抛物线两交点的坐标，代入中点公式进行化简，得到变量x，y之间的关系，即轨迹方程；
方法二：将直线方程代入抛物线的方程，再结合韦达定理（根与系数关系）对式子进行化简，探究变量x，y之间的关系，即轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）把x=2代入y=

1

2

x2，得y=2，
∴点P坐标为（2，2）．
由y=

1

2

x2，①
得y'=x，
∴过点P的切线的斜率k_切=2，
直线l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

2

，
∴直线l的方程为y-2=-

1

2

（x-2），
即x+2y-6=0．

（Ⅱ）设P(x0，y0)，则y0=

1

2

x

2 0

.
∵过点P的切线斜率k_切=x₀，
当x₀=0时不合题意，x₀≠0．
∴直线l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

x0

，
直线l的方程为y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0).②
方法一：联立①②消去y，得x²+

2

x0

x-x₀²-2=0．设Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中点，
∴

x= x0+x1 2 =- 1 x0 y=- 1 x0 (- 1 x0 -x0)+ 1 2 x 2 0 = 1 x 2 0 + x 2 0 2 +1.

消去x₀，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的轨迹方程．
由x≠0知x2＞0，∴y=x2+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1.
上式等号仅当x2=

1

2x2

，即x=±4

1 2

时成立，所以点M到x轴的最短距离是

2

+1.
方法二：
设Q（x₁，y₁），M（x，y）．则
由y₀=

1

2

x₀²，y₁=

1

2

x₁²，x=

x0+x1

2

，
∴y₀-y₁=

1

2

x₀²-

1

2

x₁²=

1

2

（x₀+x₁）（x₀-x₁）=x（x₀-x₁），
∴x=

y0-y1

x0-x1

=kl=-

1

x0

，∴x0=-

1

x

，
将上式代入②并整理，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的轨迹方程．
由x≠0知x2＞0，∴y=x2+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1.
上式等号仅当x2=

1

2x2

，即x=±4

1 2

时成立，所以点M到x轴的最短距离是

2

+1.

点评：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力．在使用点斜式表示过定点的直线方程时，一定要注意它不能表示斜率不存在的直线，此时与它垂直的直线斜率为0，故在使用前要对这种情况进行讨论．