Question

【题目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，

得f′（x）=a（1﹣ ）+

= = （x＞0）．

若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

若a＞2，当x∈（0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

（Ⅱ）解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．

令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．

则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），

由 ，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；

又 ，

设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，

且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，

∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，

∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，

由于h（1）=1，h（2）= ，因此h（x）≥h（2）= ，当且仅当x=2取等号，

∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）= ，

∴F（x）＞ 恒成立．

即f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．