Question

2．已知动点P与平面上点A（-1，0），B（1，0）的距离之和等于2$\sqrt{2}$．
（1）试求动点P的轨迹方程C．
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可你到底所求轨迹方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，再由两点的距离公式解方程可得斜率k，进而得到直线方程．

解答 解：（1）由|AB|=2＜|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$，
根据椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，则动点P的轨迹方程C为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）将直线l：y=kx+1代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x₁=0，x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
可得M（0，1），N（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
由题意可得|MN|=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+（\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得k=±1，即有直线l的方程为y=±x+1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的第一定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题．