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精英家教网如图,已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,定点B的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|=0
,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
分析:(I)对抛物线方程进行求导,求得直线l的斜率,设出M的坐标,利用
AB
BM
+
2
|
AM
|=0
求得x和y的关系.
(II)设l'方程代入椭圆的方程,消去y,利用判别式大于0求得k的范围,设出E,F的坐标,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,令λ=
S△OBE
S△OBF
,则可推断出
BE
=λ•
BF
,进而表示出(x1-2)•(x2-2)和(x1-2)+(x2-2),最后求得k和λ的关系,利用k的范围求得λ的范围.
解答:精英家教网解:(I)由x2=4y得y=
1
4
x2

y′=
1
2
x

∴直线l的斜率为y'|x=2=1,
故l的方程为y=x-1,∴点A的坐标为(1,0).
设M(x,y),则
AB
=(1,0),
BM
=(x-2,y)
AM
=(x-1,y)

AB
BM
+
2
|
AM
|=0
(x-2)+y•0+
2
(x-1)2+y2
=0

整理,得
x2
2
+y2=1

∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为2
2
,短轴长为2的椭圆.
(II)如图,由题意知l'的斜率存在且不为零,
设l'方程为y=k(x-2)(k≠0)=1 ①,
将 ①代入
x2
2
+y2=1
,整理,得
(2k2+1)x2-8k2•x+(8k2-2)=0,由△>0得0<k2
1
2

设E(x1,y1)、F(x2,y2),则
x1+x2=
8k2
2k2+1
x1x2=
8k2-2
2k2+1
,②
λ=
S△OBE
S△OBF
,则,
由此可得
BE
=λ•
BF
λ=
x1-2
x2-2
,且0<λ<1.
由 ②知(x1-2)+(x2-2)=
-4
1+2k2

(x1-2)•(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=
2
1+2k2

λ
(1+λ)2
=
2k2+1
8

k2=
(1+λ)2
-
1
2

0<k2
1
2
,∴0<
(1+λ)2
-
1
2
1
2

解得3-2
2
<λ<3+2
2

又∵0<λ<1,∴3-2
2
<λ<1

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2
2
,1).
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(1)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|
=0,求动点M的轨迹Q;
(2) F1,F2是轨迹Q的左、右焦点,过F1作直线l(不与x轴重合),l与轨迹Q相交于C,D,并与圆x2+y2=3相交于E,F.当
F2E
F2F
,且λ∈[
2
3
,1]时,求△F2CD的面积S的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l与抛物线y=
1
4
x2
相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(1)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|=0
,求动点M的轨迹C的方程;
(2)若过点B的直线l'(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同
的两点E、F(E在B、F之间),且
BE
BF
,试求λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知直线l与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,若y1y2=-1,
(1)求证:OA⊥OB;
(2)M点的坐标为(1,0),求△AOB的面积的最小值.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年山东省兖州市高三第三次模拟考试理科数学卷 题型:解答题

如图,已知直线l与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).

(I) 若动点M满足,求点M的轨迹C;

(II)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围

 

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