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    【题目】已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．

    （1）求面积的最大值；

    （2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．

    【答案】（1），（2）证明见详解，定点的坐标为.

    【解析】

    （1）先由条件得出，，然后的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，，然后即可分析出答案

    （2）设，将代入得，则有，然后可推出，当，时斜率的和恒为0，然后解出即可.

    （1）设椭圆的半焦距为，则

    由得，所以

    又由的面积等于和的面积之和，

    设点到轴的距离为，由是过椭圆的中心的弦，则点到轴的距离也为

    所以和的面积相等，所以

    因为的最大值为，所以的最大面积为

    （2）由（1）知椭圆

    设

    将代入得

    则有

    直线AM与直线BM的斜率之和：

    为与无关的常数，可知当，时斜率的和恒为0，

    解得或（舍）

    综上所述：所有满足条件的定点的坐标为

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    【题目】已知函数，.

    （1）当时，求函数的单调区间及极值；

    （2）讨论函数的零点个数.

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    【题目】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知椭圆的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为.

    （1）求椭圆的方程；

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    【题目】鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表:

    采购数x

    客户数

    10

    10

    5

    20

    5

    (1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;

    (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

    (3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元()销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:元)的最大值.

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    【题目】已知函数，满足，则（ ）

    A.函数有2个极小值点和1个极大值点

    B.函数有2个极大值点和1个极小值点

    C.函数有可能只有一个零点

    D.有且只有一个实数，使得函数有两个零点

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    【题目】若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.

    （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

    ①等差数列：；

    ②等比数列：；

    （2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.

    （3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.

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    【题目】已知函数．

    (1)当时，求证：；

    (2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．

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    【题目】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，.

    （1）求证：平面BCD；

    （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

    （3）求点E到平面ACD的距离。

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