【题目】为半椭圆的左、右两个顶点,为上焦点,将半椭圆和线段合在一起称为曲线
(1)求的外接圆圆心的坐标
(2)过焦点的直线与曲线交于两点,若,求所有满足条件的直线的方程
(3)对于一般的封闭曲线,曲线上任意两点距离的最大值称为该曲线的“直径”,如圆的“直径”就是通常的直径,椭圆的“直径”就是长轴的长,求该曲线的“直径”
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)先根据已知条件求出的三边长,可得为边长为的等边三角形,再利用等边三角形的性质,即可求得外接圆圆心的坐标;
(2)设出方程,与椭圆方程联立方程组,得出,用弦长公式求出的长,用含的式子表示,根据,即可求出值;
(3)先设曲线上两动点的坐标,代入两点间距离公式,再利用放缩法,以及椭圆上点的范围即可求出两动点间距离的范围,进而求出“直径”长.
(1)由题意可知:
则,, 故为边长为的等边三角形
根据等边三角形外心和重心重合,
三角形的重心坐标公式为: ,
设的外接圆圆心的坐标为,
,
故外接圆圆心的坐标为:.
(2)
记椭圆的上顶点坐标为
①若直线与曲线的两交点,一个在椭圆上,另一个在线段上,如图.
,,即此时,
只有直线符合题意.
②设点两点都在椭圆上,
直线
将椭圆和直线联立方程组,消掉:
则: 得 即
由韦达定理可得:
由弦长公式得: 解得:
当时,直线
当时,直线
综上所述,满足题意的直线有三条分别为:.
(3)设曲线上两动点
显然至少有一点在椭圆上时才能取得最大
不妨设
则
等号成立时:,或,
由两点距离公式可得:
故曲线的“直径”为:.
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【题目】(本小题满分12分)
已知椭圆:的左、右顶点分别为A,B,其离心率,点为椭圆上的一个动点,面积的最大值是.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过椭圆右顶点的直线与椭圆的另一个交点为,线段的垂直平分线与轴交于点,当时,求点的坐标.
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【题目】已知数列满足: , , .
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且满足,试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列,且,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
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【题目】下列命题正确的是
(1)命题“,”的否定是“,”;
(2)l为直线,,为两个不同的平面,若,,则;
(3)给定命题p,q,若“为真命题”,则是假命题;
(4)“”是“”的充分不必要条件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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【题目】为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从2004年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014~2018年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
补贴额亿元 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
粮食产量万亿吨 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程;
(2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测2019年该地区的粮食产量.
(参考公式:,)
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【题目】对于曲线C所在平面上的定点,若存在以点为顶点的角,使得对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立,则称角为曲线C相对于点的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”.曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 _________.
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【题目】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围.
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