Question

设不等式x-x²≥0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若a，b∈M，试比较a³+b³与a²b+ab²的大小．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出不等式x-x²≥0的解集确定出集合M，
（2 ）将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，转化为f（x）=x（m²-1）-（2m-1）＞0恒成立，由于x∈[0，1]，故等价于

f(0)＞0 f(1)＞0

，解之即可得m的取值范围．

解答：解：（1）原不等式即为x（1-x）≥0，所以0≤x≤1（4分）
所以不等式的解集M=[0，1]（6分）
（2）a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a²-b²）（a-b）=（a-b）²（a+b），
由（1）知a，b为正数，
∴（a-b）²≥0，a+b＞0，∴（a-b）²（a+b）≥0，∴a³+b³≥a²b+ab²．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，转化为f（x）=x（m²-1）-（2m-1）＞0恒成立，
当x∈[0，1]时，等价于

f(0)＞0 f(1)＞0

即

1-2m＞0 m2-2m＞0

，?m＜0．
可得m的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，函数恒成立问题，不等关系与不等式等．用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．