Question

（2010•广州模拟）已知数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{b_n}的前n项和Sn=n2．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

bn

an

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件即可求出{a_n}的通项公式；再结合前n项和与通项之间的关系即可求出{b_n}的通项公式；
（2）先求出其通项，再利用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）因为数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=2n-1．
因为数列{b_n}的前n项和Sn=n2．
所以当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，b₁=S₁=1=2×1-1，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1．
（2）由（1）可知，

bn

an

=

2n-1

2n-1

．
设数列{

bn

an

}的前n项和为T_n，
则    Tn=1+

3

2

+

5

4

+

7

8

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，

即   

1

2

Tn=

1

2

+

3

4

+

5

8

+

7

16

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，

得

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
所以Tn=6-

2n+3

2n-1

．
故数列{

bn

an

}的前n项和为6-

2n+3

2n-1

．

点评：本题主要考察数列的求和以及数列的通项．错位相减法求和适用于以等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．