Question

在下列给出的函数中，以π为周期且在(0，

π

2

)内是增函数的是（　　）

• A、y=sin

  x

  2

• B、y=cos2x
• C、y=sin(2x+

  π

  4

  )
• D、y=tan(x-

  π

  4

  )

Answer 1

分析：利用三角函数的周期性，对A、B、C、D逐一判断即可．

解答：解：A：∵y=sin

x

2

的周期为T=

2π

1 2

=4π，故可排除A；
B：∵y=cos2x在（0，

π

2

）上是减函数，故可排除B；
C：对于y=sin（2x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴y=sin（2x+

π

4

）的递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z），
当k=0时，[-

3π

8

，

π

8

]为其一个单调递增区间，同理可知，[

π

8

，

5π

8

]为其一个递减区间，故C错误；
D：y=tan（x-π），其周期T=π，由kπ-

π

2

＜x-π＜kπ+

π

2

（k∈Z）⇒（k+1）π-

π

2

＜x＜（k+1）π+

π

2

（k∈Z），
当k=-1时，（-

π

2

，

π

2

）为y=tan（x-π）的一个单调递增区间，
而（0，

π

2

）?（-

π

2

，

π

2

），故D正确．
故选：D．

点评：本题考查三角函数的周期性与单调性，属于中档题．