Question

如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2．
（1）P、C、D、M四点是否在同一平面内，为什么？
（2）求证：面PBD⊥面PAC；
（3）求直线BD和平面PMD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）P、C、D、M四点不在同一平面内．假设P、C、D、M四点在同一平面内，则DC∥面ABPM，从而AB∥MP，这显然不成立．假设不成立，即P、C、D、M四点不在同一平面内．
（2）由已知得PB⊥平面ABCD，PB⊥AC，AC⊥面PBD，由此能证明面PBD⊥面PAC．
（3）分别以BA，BC，BP为x，y，z轴B为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD和平面PMD所成的角的正弦值．

解答： （1）解：P、C、D、M四点不在同一平面内，
理由如下：
假设P、C、D、M四点在同一平面内，
∵DC∥AB，∴DC∥面ABPM，
∵面DCPM∩面ABPM=PM，
∴DC∥PM，又PC∥AB，∴AB∥MP，这显然不成立．
∴假设不成立，即P、C、D、M四点不在同一平面内．（4分）
（2）证明：∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AC，
又由AC⊥BD，∴AC⊥面PBD，
∴AC?面PAC，∴面PBD⊥面PAC．（8分）
（3）解：如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴B为原点，
建立空间直角坐标系．
则D（2，2，0），P（0，0，2），M（2，0，1）

BD

=(2，2，0)，

PM

=(2，0，-1)，

PD

=(2，2，-2)，
设面PMD的法向量

n

=（x，y，z），则

2x-z=0 2x+2y-2z=0

，
令x=1，得

n

=（1，1，2），
cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n |•| BD |

=

3

3

，
直线BD和平面PMD所成的角与＜

n

，

BD

＞互余，
所以直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．