Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意x∈R，满足f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，则方程f（x）=

1

2

（x∈[-4，4]）的解集为

{-3，1}

．

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x），可得函数f（x）是周期为4的周期函数．当1≤x≤3时，求得f（x）的解析式为 1-

1

2

x．根据函数的周期性画出函数在[-4，4]上的图象，本题即求函数f（x）的图象和直线y=

1

2

交点的横坐标，数形结合可得结论．

解答：解：由f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数．
由于当-1≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，
故当1≤x≤3时，有-1≤x-2≤1，
f（x）=f[（x-2）+2]=-f（x-2）=-

1

2

（x-2）=1-

1

2

x．
故有f（x）=

1 2 x  ，-1≤x≤1 1- 1 2 x  ，1≤x≤3

．
根据函数的周期性画出函数在[-4，4]上的图象，
根据题意可得，本题即求函数f（x）的图象和直线y=

1

2

交点的横坐标．
如图所示：数形结合可得函数f（x）的图象和直线y=

1

2

交点的横坐标为-3、1，
故答案为 {-3，1}．

点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．