Question

【题目】将2、3、4、6、8、9、12、15共八个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于1.则所有可能的排法共有()种

A. 720 B. 1014 C. 576 D. 1296

Answer 1

【答案】D

【解析】

先将八个数分成三组:

I(2,4,8),Ⅱ(3,9,15),Ⅲ(6,12)由I组中与Ⅱ组中的数无公因子,知满足条件的排列必为:

(1)取出6、12两数以后,剩余数分成三部分排列(依次)I、Ⅱ、I或Ⅱ、I、Ⅱ,此时,这六个数的排列有2×3!×3!×2=144种.而6、12放在不同部分相交的地方有两种不同的放法,共有2×144=288种

(2)取出6、12两数以后,剩余数分成两部分排列I、Ⅱ或Ⅱ、I,此时,这六个数有2×3!×3!种排列方式,而6、12若全部在I组与Ⅱ组的交界处,有两种排法,否则,只有一个在交界处,另一个位置有六种选法,共有

故所求的排法数为1008+288=1296.