Question

如图所示,在四面体OABC中,OA、OB、OC两两垂直,且OB=OC=3,OA=4.给出以下命题:

①存在点D(O点除外),使得四面体DABC有三个面是直角三角形;
②存在点D,使得点O在四面体DABC外接球的球面上;
③存在唯一的点D使得四面体DABC是正棱锥;
④存在无数个点D,使得AD与BC垂直且相等.
其中正确命题的序号是　　　　(把你认为正确命题的序号填上). 

Answer 1

①②④

①过O作平面ABC的垂线(O′为垂足),延长至D使O′D=OO′,连接AD,BD,CD,则四面体DABC有三个面是直角三角形,故①正确;
②在以O、A、B、C确定的球上,显然存在点D满足条件,故②正确;
③因为AB=AC=5,BC=3,所以当点D满足BC=BD=CD=3且AD=5,四面体是以△BCD为底面的正棱锥,这样的D点有两个,所以③不正确.
④取BC的中点O₁,在平面AOO₁内以A为圆心,以BC为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这样的点D有无数个,故④正确.