Question

在等差数列{a_n}中，已知a₁=20，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n及使得S_n最大的序号n的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列的公差为d，由首项a₁的值，利用等差数列的求和公式化简S₁₀=S₁₅，即可求出公差d的值，由首项a₁和d的值，写出等差数列{a_n}的通项公式即可；
（2）由（1）求出的公差d和首项a₁，根据等差数列的前n项和公式表示出S_n，配方后，根据二次函数求最大值的方法，即可求出S_n最大时序号n的值．

解答：解：（1）由题意可知：S10=10a1+

10×9

2

d，S15=15a1+

15×14

2

d
∵a₁=20，S₁₀=S₁₅即10a₁+45d=15a₁+105d
解得：d=-

5

3

∴an=-

5

3

n+

65

3

；（6分）
（2）由（1）知S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-

5

6

n2+

125

6

n
因为Sn=-

5

6

(n-

25

2

)2+

3125

24

所以n=12，13时，S_n取得最大值．（12分）

点评：此题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式以及数列的函数特征．学生在求S_n取得最大值时n值时，注意n为正整数这个条件．