如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离.
解:连结BD、AC,EF和BD分别交AC于H、O,连结GH,作OK⊥GH于点K. ∵ABCD为正方形,E、F分别为AB、AD的中点,∴EF∥BD,H为AO的中点. ∵BD∥EF,BD平面GFE,∴BD∥平面GFE. ∴BD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离. ∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.∵GC⊥面ABCD,∴GC⊥EF. ∵GC∩AC=C,∴EF⊥平面GCH.∵OK平面GCH,∴EF⊥OK. 又∵OK⊥GH,GH∩EF=H,∴OK⊥平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离. ∵正方形的边长为4,CG=2,∴AC=,HO=,HC=. 在Rt△HCG中,HG=. 在Rt△GCH中,OK=. |
本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等. |
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