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已知函数

(1) 求函数的单调区间和极值;

(2) 求证:当时,

(3) 如果,且,求证:

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值,并考查数学证明.

【试题解析】解:⑴∵=,∴=.            (2分)

=0,解得.

1

0

极大值

内是增函数,在内是减函数.           (3分)

∴当时,取得极大值=.                               (4分)

⑵证明:,则

=.                (6分)

时,<0,>2,从而<0,

>0,是增函数.

             (8分)

⑶证明:∵内是增函数,在内是减函数.

∴当,且时,不可能在同一单调区间内.

不妨设

由⑵的结论知时,>0,∴.

,∴.

,∴              (12分)

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