Question

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

产品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

产品\利润\等级	一等	二等
甲	5（万元）	2.5（万元）
乙	2.5（万元）	1.5（万元）

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

产品\用量\项目	工人（名）	资金（万元）
甲	8	5
乙	2	10

Answer 1

分析：这是一道概率，分布列、数学期望与线性规划的综合问题，（1）根据两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，故生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙就是求甲乙两种产品的两道工序的加工结果都为A级的概率．（2）我们要根据题目已知，分别求出随机变量ξ、η的取值，并分析每总取值的概率，即可得到随机变量ξ、η的分布列，进而求出各自的数学期望．（3）由（2）的结论，我们不难得到x，y满足的不等关系，即约束条件，和目标函数，用线性规划的方法解决问题．

解答：解：（Ⅰ）P_甲=0.8×0.85=0.68，P_乙=0.75×0.8=0.6．
（Ⅱ）随机变量ξ、η的分别列是

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（Ⅲ）由题设知

5x+10y≤60 8x+2y≤40 x≥0 y≥0.

目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y．
作出可行域（如图）：
作直线l：4.2x+2.1y=0，
将l向右上方平移至l₁位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，
此时z=4.2x+2.1y
取最大值．解方程组

5x+10y=60 8x+2y=40.

得x=4，y=4．即x=4，y=4时，z取最大值，z的最大值为25.2．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．