Question

是否存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α+β=

2π

3

   ②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：假设题中的两个条件同时成立，则

α

2

+

β

2

=

π

3

，利用两角和的正切公式得tan(

α

2

+

β

2

)=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=

3

，从而解出tan

α

2

+tan

β

2

=3-

3

，与tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

联解得出tan

α

2

=1或tan

β

2

=1，这与α、β为锐角相矛盾，因此不存在满足条件的α、β的值．

解答：解：假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：①α+β=

2π

3

；②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

同时成立，
由

α

2

+

β

2

=

π

3

，可得tan(

α

2

+

β

2

)=

3

，即

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=

3

．
∵tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

，
∴

tan α 2 +tan β 2

1-(2- 3 )

=

3

，化简得tan

α

2

+tan

β

2

=3-

3

．
由

tan α 2 +tan β 2 =3- 3 tan α 2 tan β 2 =2- 3

联解，可得

tan α 2 =1 tan β 2 =2- 3

或

tan α 2 =2- 3 tan β 2 =1

．
∵α、β∈（0，π），
∴

α 2 = π 4 β 2 = π 12

或

α 2 = π 12 β 2 = π 4

，即

α= π 2 β= π 3

或

α= π 3 β= π 2

，这与α和β都是锐角矛盾．
因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：①α+β=

2π

3

；②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

同时成立．

点评：本题给出α、β满足的条件，探求α、β能否为锐角．着重考查了两角和与差的正切公式、方程组的解法、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．