Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，且其前10项和为65，又正项数列{b_n}满足bn=

n+1

an

(n∈N*)．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）比较b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，则65=10a1+

10×9

2

d，再由a₁=2，得d=1，由此能够求出数列{b_n}的通项公式．
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2，b3=

4	4

=

2

=b1，b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，由此能够判断b₁，b₂，b₃，b₄的大小．
（3）猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

．函数y=

lnx

x

(x＞e)中，y′=

1-lnx

x2

＜0，故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是减函数，所以

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

．猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是b2=

3	3

．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则65=10a1+

10×9

2

d，又a₁=2，得d=1，从而a_n=n+1
故bn=

n+1	n+1

．（4分）
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2，
b3=

4	4

=

2

=b1，
b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄．（8分）
（3）由（2）猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

．（10分）
考察函数y=

lnx

x

(x＞e)，
则y′=

1-lnx

x2

，∵x＞e时，lnx＞1，∴y'＜0，
故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e，（12分）
所以

ln(n+2)

n+2

＜

ln(n+1)

n+1

，即

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

．
猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是b2=

3	3

．（14分）

点评：自从导数走进高考试题中，就和函数形影不离，并且与方程、数列、解析几何以及立体几何等分支的知识联姻，成为高考的一道亮丽的风景线．预计导数还会与平面向量、概率与统计等分支的知识联合，展示其独特的魅力．