Question

已知数列{a_n}中，a_n=（

2

3

）^n-1[（

2

3

）^n-1-1]（n∈N^*），求数列{a_n}的最大项与最小项．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列递推式

专题：函数的性质及应用

分析：转化为a_n=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

，根据数列的函数性，结合二次函数判断即可．

解答： 解：设t=（

2

3

）^n-1，则a_n=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

，
由t=（

2

3

）^n-1∈（0，1]，
当t=1时，n=1，数列{a_n}的最大项为0，即a₁=0．
当t=

1

2

为对称轴，
当n=2时，t=

2

3

当n=3时，t=

4

9

，
当n=4时，t=

8

27

，
∵（0

1

2

）单调递减，（

1

2

，1）单调递增，
∴只有比较t=

2

3

，t=

4

9

，即可
∵

2

3

-

1

2

=

1

6

，

1

2

-

4

9

=

1

18

，

1

6

＞

1

18

∴当n=3时，t=

4

9

，数列{a_n}最小项a₃=-

20

81

．

点评：本题考查了函数的性质，在求解数列问题中的应用，关键是构造容易操作的函数，据单调性判断即可．