【题目】如果数列,,…,(m ≥ 3,)满足:①<<…<;②存在实数,,,…,和d,使得≤<≤<≤<…≤<,且对任意0 ≤ i ≤ m﹣1(I ),均有,那么称数列,,…,是“Q数列”.
(1)判断数列1,3,6,10是不是“Q数列”,并说明理由;
(2)已知k,t均为常数,且k>0,求证:对任意给定的不小于3的正整数m,数列 (n=1,2,…,m)都是“Q数列”;
(3)若数列(n=1,2,…,m)是“Q数列”,求m的所有可能值.
【答案】(1)是(2)见解析(3)3或4
【解析】
(1)存在数列-1,2,5,8,11成等差,且有-1<1<2<3<5<6<10<11,所以数列1,3,6,10是“Q数列”;(2) 因为常数k > 0,,恒成立,所以数列(n = 1,2,…,m)满足①m为任意给定的不小于3的正整数,恒成立,满足②即可得证;(3)m=3或4时可举出具体的数列满足条件;当m=5时,不成立,从而当m≥5时,数列{2n},(n=1,2,3,…,m)不可能为“Q数列”,由此求出m的所有可能取值为3或4.
(1)数列1,3,6,10是“Q数列”.因为存在数列-1,2,5,8,11成等差,且有-1<1<2<3<5<6<10<11.所以数列1,3,6,10是“Q数列”
(2)因为常数k > 0,,恒成立,所以数列(n = 1,2,…,m)满足①.
又存在等差数列(n = 0,1,…,m),其中,
使得对任意的n = 1,2,…,m,其中m为任意给定的不小于3的正整数,
恒成立,满足②,即证.
(3)当m = 3时,对于数列2,4,8,存在等差数列0,3,6,9满足条件.
当m = 4时,对于数列2,4,8,16,存在等差数列-3,2,5,8,13,5,19满足条件.
当时,若存在初数和d,使得
,且任意,均有.
则有.
所以,
所以,这与矛盾,
所以当时,数列(n = 1,2,…,m)不可能为“Q数列”
所以m的所有可能值为3或4.
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【题目】如图,四棱锥的底面是直角梯形, , , ,点在线段上,且, , 平面.
(1)求证:平面平面;
(2)当四棱锥的体积最大时,求平面与平面所成二面角的余弦值.
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【题目】有5人进入到一列有7节车厢的地铁中,分别求下列情况的概率用数字作最终答案:
恰好有5节车厢各有一人;
恰好有2节不相邻的空车厢;
恰好有3节车厢有人.
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【题目】设椭圆:的离心率为,椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆交于、两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值.
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【题目】下面四个命题中真命题的是( )
①在回归分析模型中,残差平方和越大,说明模型的拟合效果越好;
②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;
③在回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量平均增加0.4个单位;
④对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越大.
A.①④B.②④C.①③D.②③
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【题目】学校艺术节对同一类的,,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】(理科)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的数学期望.
独立性检验界值表:
(参考公式: ,其中)
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【题目】在等差数列中, ,其前项和为,等比数列的各项均为正数, ,且, .
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,设数列的前项和为,求()的最大值与最小值.
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