Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3）．
（1）p（A，A+1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
（2）若M为圆上任意一点，求|MQ|的最大值和最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件求出P（4，5），由此能求出线段PQ的长及直线PQ的斜率．
（2）求出圆C：x²+y²-4x-14y+45=0的圆心C，半径r，再求出|CQ|《|MQ|_max=|CQ|+r，|MQ|_min=|CQ|-r．

解答： 解：（1）∵圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3），
p（A，A+1）在圆上，
∴A²+（A+1）²-4A-14（A+1）+45=0，
解得A=4，∴P（4，5），
∴线段PQ的长|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，
直线PQ的斜率k=

5-3

4+2

=

1

3

．
（2）圆C：x²+y²-4x-14y+45=0的圆心C（2，7），
半径r=

1

2

16+196-4×45

=2

2

，
|CQ|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
∴|MQ|_max=|CQ|+r=6

2

，|MQ|_min=|CQ|-r=2

2

．

点评：本题考查线段长及直线斜率的求法，考查线段的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．